Capítulo 4 – COMPONENTES DE VARIÂNCIA

1) Deduza as seguintes propriedades de variâncias e covariâncias baseando-se em esperança matemática:

a) V (kX) = k² V (X)

b) V (x) = 1 sendo

Como:

Temos:

c) V (X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov (X,Y)

d) COV (X,X) = V (X)

e) Cov (aX, bY) = abCov(X,Y)

Como:

Temos:

2) Considerando as propriedades de variância e covariância, com base em esperança matemática, como seria dada a V (aX+bY).

1)

2)

Temos:

3) Foram avaliadas dez famílias de meios-irmãos em experimentos em blocos ao acaso com três repetições. O resultado da análise de variância é representado a seguir:

FV	GL	SQ	QM	F		Probabilidade
Bloco (B)	2	713,216	356,6
Tratamentos	9	6384,823	709,4	4,8238		0,002228
Resíduo	18	2647,224	147,1
Média		146,63	CV(%)		8,28
Minimo		112,1	Máximo		185

- As médias das famílias foram:

129,3 ; 154,4 ; 141,5 ; 165,6 ; 145,7 ; 116,7 ; 139,0 ; 149,9 ; 164,3 ; 156,9.

- Considere os resultados da análise de variância:

a) Estime a variância genética e a herdabilidade considerando a seleção baseada nas médias das famílias.

FV				E (QM)
Bloco (b)	x		x
Genótipo (g)	x	x
Resíduo	x

Variância genética:

Herdabilidade:

b) Estime o ganho a ser obtido pela seleção das quatro melhores famílias

Como já temos o valor da herdabilidade (0,7926), basta encontrarmos o valor do diferencial de seleção para calcularmos o ganho com a seleção.  A média de todas as famílias é 146,33, precisamos apenas da média dos selecionados.

Passo 1) Identificação das quatro famílias com maiores médias:

165,6; 164,3; 154,4 e 156,9.

Passo 2) Cálculo da média das melhores famílias:

Passo 3) Cálculo do diferencial de seleção (DS):

Passo 4) Cálculo do ganho de seleção (GS):

c) Faça a predição da média da população melhorada

A média da população melhorada é dada pela soma da média original com o ganho de seleção:

4) Defina efeito fixo e aleatório

O Efeito é dito fixo quando as conclusões a seu respeito forem válidas somente para ele próprio. O tratamento estudado não é uma amostra, mas sim o próprio material de interesse. Exemplo: ensaios de competição e recomendação de cultivares.

 H0: g1 = g2=...= gn = 0 (Teste F significativo indica a existência de diferença entre as médias, o que possibilita o uso de testes de média).

E (g_i) = g_i

E (g_i²) = g_i²

Σg_i = k =0

O efeito é dito aleatório quando o material avaliado constitui-se numa amostra de uma população, de forma que as informações obtidas têm o interesse de caracterizar a população de trabalho. Exemplo: avaliação de progênies (meio irmão e irmão completo, por exemplo).

H0: δ²_g = 0 (Teste F significativo indica a existência de variabilidade genética entre as médias testadas)

E (g_i) = 0

E (g_i²) =δ_g ²

E (g_i , g_i’) = 0

5) Defina componente de variância

Componentes de variâncias são as variâncias associadas aos efeitos aleatórios de um modelo estatístico. Neste modelo, a média sempre é fixa e o erro aleatório. A importância desse estudo, é para obtenção do estimador da variância genotípica e de seus componentes herdáveis e não herdáveis.

6) Qual a diferença entre um componente de variância e um componente quadrático.

O componente quadrático expressa a variabilidade genotípica existente no material genético estudado, quando se trabalha com efeito fixo. Ressalta-se que para efeito fixo, nossa hipótese H₀ testa a igualdade entre contrastes de médias. Já o componente de variância, expressa a variabilidade genética do material estudado, quando consideramos efeito aleatório. Nossa hipótese H₀ para esse tipo de caso é se a δ²_g é igual a zero, sendo que essa variância ainda pode ser subdivida em seus componentes básicos (variância aditiva e devida aos desvios de dominância).

7) Considere o modelo Yij = m + Gi + Bj + Eij

a) Apresente o quadro da análise de variância, com as fontes de variações e respectivas esperanças do quadrado médio.

FV	GL	SQ	QM	F
Genótipos (G)	g-1	SQG	QMG	QMG/QMR
Bloco (B)	b-1	SQB	QMB
Resíduo	(g-1) (b-1)	SQR	QMR
Total	rga-1	SQT

Obtenção da E (SQ) e QM considerando Efeito Aleatório:

E (g_i) = 0                              E (b_j) = 0

E (g_i²) =δ_g ²                         E (bj²) =δ_b ²

E (g_i , g_i’) = 0                       E (bj ,bj’) = 0

SOMA DE QUADRADOS

SQTotal:

(1)

(2)

Temos:

SQTratamento :

(3)

Temos:

SQBlocos:

(4)

Temos:

ESPERANÇAS DE QUADRADO MÉDIO (SQ/GL)

Método Prático

FV				E (QM)
Bloco (b)	x		x
Genótipo (g)	x	x
Resíduo	x

b) Considerando o efeito do genótipo (Gi) fixo, descreva a hipótese testada no modelo. Que conclusões o pesquisador pode tirar quando obtiver valor de F ( = QMG/QMR) significativo.

                Na análise de variância para o modelo fixo, tem-se que H0: g1=g2=g3=...= gn=0. Logo o valor significativo obtido pelo teste F indica a existência de efeito significativo de genótipo ou que há pelo menos um contraste entre as médias avaliadas que diferem estatisticamente entre si, tendo por base o teste de Scheffé. Dessa forma, é possível o pesquisador realizar testes de médias.

Os resultados só servem para os tratamentos analisados.

c) Considerando o efeito do genótipo (Gi) aleatório, descreva a hipótese testada no modelo. Que conclusões o pesquisador pode tirar quando obtiver valor de F (= QMG/QMR) significativo.

Na análise de variância para o modelo aleatório, tem-se que H0: δ²_g = 0. Logo o valor significativo obtido pelo teste F indica a existência de efeito significativo de variância genotípica (variabilidade genética) entre as médias testadas, indicando viabilidade do uso de técnicas seletivas.

Os resultados podem ser expandidos.

d) Deduza a esperança de E (Y..)² e de E (Yi.²)

Passo 1) Dedução de E(Y_..)²

Passo 2) Dedução de E (Y²_i.)

8) Considerando os dados a seguir, faça a análise de variância e apresente os testes de hipóteses considerando o modelo aleatório. Estime a variância genética e a herdabilidade do caráter.

Genótipo	Bloco 1	Bloco 2	Bloco 3	Total
1	12	14	16	42
2	15	14	18	47
3	20	22	19	61
4	30	32	30	92
Total	77	82	83	242

Modelo Yij = m + Gi + Bj + Eij

Para fazer esse exercício devemos primeiramente calcular a soma de quadrado total, soma de quadrado de blocos e soma de quadrado genótipo:

Agora podemos montar o quadro da ANOVA:

FV	GL	SQ	QM	F
Bloco (B)	(r-1) = 2	5,16	2,58
Genótipos (G)	(g -1) = 3	505,66	168,55	53,69**
Resíduo	( r-1) (g-1) = 6	18,83	3,136
Total	11	529,66

Sendo que:

GL Resíduo = GL Total – GL Blocos – GL Genótipos

Método Prático para obtenção de E (QM):

FV				E (QM)
Bloco (b)	x		x
Genótipo (g)	x	x
Resíduo	x

A variância genética é dada por:

E a herdabilidade por:

9) Considere os resultados da análise de variância feita segundo o modelo:

Yijk = m + B/Ajk + Gi + Aj + GAij + Eijk

FV	GL	QM
Bloco/Ambiente	27	1,523
Genótipos	4	12,119
Ambiente	8	42,886
G x A	32	4,039
Resíduo	108	0,456

a) Apresente as E (QM) considerando o modelo aleatório

Método Prático para obtenção da E (QM):

1) Confeccionar uma tabela de dupla entrada com FV e componentes de variância;

2) Incluir coeficientes multiplicando os componentes de variância, exceto o da fonte de variação testada;

3) Incluir os componentes que possuem todas as letras da FV.

FV/COMPONENTES						E (QM)	E(QM) Fixo
Bloco/ambiente	x	x
Genótipo	x		X		x
Ambiente	x	x		x	x
G x A	x				x
Resíduo	x

b) Apresente as hipóteses a serem testadas.

                Para o modelo aleatório, testa-se uma hipótese para cada componente de variância, por exemplo, o valor de δ²_g , sendo nossa hipótese H₀ igual a δ²_g=0. Para isso, é importante isolar cada componente de interesse.

FV/COMPONENTES						E (QM)	Teste F	Hipótese
Bloco/ambiente	X	x
Genótipo	X		x		X
Ambiente	X	x		x	X
G x A	X				X
Resíduo	X

c) Apresente os valores da estatística F e sua significância.

FV	Teste F	Probabilidade
Genótipo		3,28%*
Ambiente		0%**
G x A		0%**

d) Estime o δ²_g e δ²_ga. Estime a herdabilidade considerando a seleção baseada nas médias dos genótipos nos vários ambientes.

e) Por que os graus de liberdade associados a genótipos e genótipos x ambientes são, respectivamente, g-1 e (g-1) (a-1)?

O grau de liberdade associado a genótipos é g-1 porque é perdido um grau de liberdade devido a média genotípica, enquanto o associado a genótipos x ambientes é (g-1) (a-1) porque são perdidos dois graus de liberdade, um devido a média genotípica e outro devido a média do ambiente.

f) Responda todas as questões considerando agora o modelo misto (com efeito de ambiente fixo e os demais aleatórios).

Método Prático para obtenção da E (QM) em modelos mistos:

1) Confeccionar a E (QM) para o modelo aleatório;

2) Fazer alterações na tabela:

                a) Substituir δ²_x por Φx no efeito fixo (grδ²_a "grΦa);

b) Adicionar α na interação fixo-ambiente (rδ²_ag "rαδ²_ag);

                c) Excluir o efeito aninhado após a “/” (gδ²_b/a"gδ²_b).

3) Permanece no modelo o componente que explica a FV ou que ao retirar a FV testada sobra efeito aleatório.

FV/COMPONENTES				grΦa		E (QM)	Teste F
Bloco/ambiente	x	x
Genótipo	x		x
Ambiente	x	x		x	x
G x A	x				x
Resíduo	x

FV	Teste F	Probabilidade
Genótipo		0%**
Ambiente
G x A		0%**

10) Considere um experimento em blocos ao acaso com r repetições, em que se avaliaram g genótipos e a ambientes. Admita que os efeitos de genótipos são fixos.

a) Apresente o esquema da ANOVA com graus de liberdade e esperança dos quadrados médios.

Yijk = m + Gi + Aj + GAij + B/Ajk + Eijk

G = fixo

A e B = aleatório

FV/COMPONENTES	GL	SQ	QM	E (QM)
Bloco/ambiente	a (r-1)	SQB	QMB
Genótipo	(g-1)	SQG	QMG
Ambiente	(a-1)	SQA	QMA
G x A	(g-1) (a-1)	SQGA	QMGA
Resíduo	(r-1) (g-1)a	SQR	QMR
Total	gra-1

Método Prático para obtenção da E (QM) em modelos mistos:

1) Confeccionar a E (QM) para o modelo aleatório;

2) Fazer alterações na tabela:

a) Substituir δ²_x por Φx no efeito fixo (arδ²_g "arΦg);

b) Adicionar α na interação fixo-ambiente (rδ²_ag "rαδ²_ag);

                c) Excluir o efeito aninhado após a “/” (gδ²_b/a"gδ²_b).

3) Permanece no modelo o componente que explica a FV ou que ao retirar a FV testada sobra efeito aleatório.

FV/COMPONENTES			raΦg			E (QM)	Teste F
Bloco/ambiente	x	x
Genótipo	x		x		x		QMG/QMGA
Ambiente	x	x		x			QMA/QMB
G x A	x				x		QMGA/QMR
Resíduo	x

b) Apresente os estimadores dos componentes de variância associados aos efeitos de ambientes e da interação genótipo x ambiente.

11) Os resultados da análise de variância de experimentos realizados em três locais são apresentados a seguir:

	A1		A2		A3
FV	GL	QM	GL	QM	GL	QM
Bloco	4	10,0	3	8,0	2	6,0
Genótipo	20	18,0	20	20,0	20	15,0
Erro	80	8,2	60	6,0	40	3,0
Média	10,0		12,0		15,0

                Apresente os resultados da análise de variância conjunta com os graus de liberdade de cada fonte de variação e, se possível, as respectivas somas de quadrado e quadrados médios.

Um pré-requisito para analisar conjuntamente grupo de experimentos é a existência de homogeneidade de variâncias residuais entre eles. Neste caso, os QM dos erros não podem ser muito discrepantes. Uma recomendação prática, é dividir a maior e menor variância do erro, sendo que o resultando desta equação não pode ultrapassar 7 (80/40 = 2; <7).

Relação 1:

                A soma de quadrado dos resíduos da análise conjunta é o resultado da soma de todas as SQR para cada ambiente em estudo.

Relação 2:

                A soma de quadrado de genótipos dentro dos ambientes, obtida na análise conjunta, pode ser decomposta na soma entre SQG e SQGA. É também a soma das SQG de cada ambiente em separado.

FV/COMPONENTES	GL	SQ	QM
Bloco/ambiente	(4+3+2)= 9	76	8,444
Genótipo/Ambiente	(20 + 20 +20)= 60	1060	17,667
Genótipo	20	-
G x A	(20 x 2)= 40	-
Ambiente	2	985,25	492,625
Resíduo	(80 + 60 +40)= 180	1136	6,311

12) Considere um experimento de avaliação de g genótipos em a ambientes em blocos ao acaso com r repetições.

a) Apresente o modelo estatístico para análise dos dados (descreva os efeitos).

Yijk = m + Gi + Aj +B/Akj + GAij + Eijk

Média = fixo;                                                    Genótipo (g) = aleatório;

Ambiente (a) = aleatório;                           Bloco (r) = aleatório;

Erro = aleatório                .

b) Apresente o quadro da ANOVA e respectivas E (QM), admitindo que todos os efeitos são aleatórios.

FV	GL	SQ	QM	E (QM)
Genótipo	g-1	SQG	QMG
Ambiente	a-1	SQA	QMA
Bloco/Ambiente	r(a-1)	SQB/A	QMB/A
G x A	(g-1) (a-1)	SQGA	QMGA
Resíduo	(r-1) (g-1)a	SQR	QMR

c) Como poderiam ser testadas as hipóteses: H0: δ²_g = 0 e H0: δ²_ga = 0 ?

Teste F (δ²_g) = QMG / QMGA

Teste F (δ²_ga) = QMGA / QMR

d) Como poderia ser estimado o componente de variância da interação genótipo x ambiente (δ²_ga).

δ²_ga = QMGA – QMR /r