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Probabilidade

Propriedades

Leis de Probabilidade

Distribuição Binomial

Distribuição Multinomial


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PROBABILIDADE


Dado um acontecimento A, sendo nA o numero de casos favoráveis relativo a sua realização e ñA o número de casos contrários a probabilidade de A pode ser definida como:

p(A) = nA/(nA + ñA)

De outra forma, a probabilidade é a razão entre o número de maneiras igualmente provável de um evento ocorrer e o número igualmente provável de todos acontecimentos ocorrerem.


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PROPRIEDADES


O cálculo da probabilidade de um evento A deve satisfazer as seguintes propriedades:

a) 0 (menor ou igual) P(A) (menor ou igual) 1

b) P(S) = 1, sendo S o conjunto de todos os resultados possíveis ou universo.

c) P( ) = 0

Como ilustração é considerado a cor dos olhos na espécie humana, em que a condição A- determina olhos castanhos e aa determina olhos azuis. Do casamento entre genitores heterozigotos(Aa x Aa), formam-se:

Fenótipo	Descrição	Probabilidade
Meninos de olhos castanhos	XY A-	P(XY) P(A-) = ½ x ¾ = 3/8
Meninos de olhos azuis	XY aa	P(XY) P(aa) = ½ x ¼ = 1/8
Meninas de olhos castanhos	XX A-	P(XX) P(A-) = ½ x ¾ = 3/8
Meninas de olhos azuis	XX aa	P(XX) P(aa) = ½ x ¼ = 1/8

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LEIS DE PROBABILIDADE


Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos

Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Neste caso a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é expressa por:

P(A ou B) = P(A) + P(B)

Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis. Assim, tem-se:

P(A) = P(menino de olhos castanhos) = 3/8

P(B) = P(meninas de olhos azuis) = 1/8

P(A ou B) = P(A) + P(B)= 3/8 + 1/8 = 1/4

Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos

Neste caso podemos definir a seguinte expressão de probabilidade

P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)

Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino ou uma criança de olhos azuis. Assim, tem-se:

P(A) = P(menino) = 1/2

P(B) = P(olhos azuis) = 1/4

P(A e B) = P(meninos de olhos azuis) = 1/8

P(A ou B) = P(A) + P(B ) - P(A e B) = 1/2 + 1/4 - 1/8

A necessidade de subtrair a probabilidade de meninos de olhos azuis na P(A ou B) pode ser constatada pois tanto a valor P(menino) quanto P(olhos azuis) inclui a possibilidade de sair menino de olhos azuis, consequentemente esta probabilidade estaria sendo somada duas vezes caso não houvesse aquela subtração.

Lei do produto para eventos independentes

Dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer B não é condicional à ocorrência de A. A expressão que define a lei do produto para eventos independentes é a seguinte:

P(A e B) = P(A) . P(B)

Exemplo: Em uma família será estimada a probabilidade do ser menino e ter olhos azuis.

P( menino e olhos azuis) = P(menino) . P(olhos azuis) =(1/2)(1/4) = 1/8

Lei do produto para eventos dependentes (ou condicionais ou ligados)

Neste caso temos a seguinte expressão de probabilidade:

P(A e B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . (P(A/B)

Será considerado agora o gene que deteramina o daltonismo na espécie humana. Trata-se de um gene ligado ao sexo, em que:

Mulheres normais : XD XD ou XD Xd

Mulheres daltônicas : Xd Xd

Homens normais : XDY

Homens daltônicos : XdY

Considerando o casamento entre uma mulher normal, portadora, e um homem normal, tem-se as descendências:

Gametas	XD	Y
XD	XD XD	XD Y
Xd	XD Xd	Xd Y

Conclui-se que:

P(menino) = P(menina) = ½

P(Normal) = ¾

P(Daltonismo) = ¼

Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer uma menina daltônica. Verifica-se, neste caso, que:

P(menina daltônica) # P(menina) x P(daltônica)

Ao contrário, tem-se:

P(menina daltônica) = P(menina) x P(daltonica/menina) = ½ x 0 = 0


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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL


Utilização

A distribuição poderá ser empregada na determinação da probabilidade quando no evento especificado se deseja calcular a probabilidade de uma acontecimento composto estabelecido por vários eventos. Neste caso, os eventos que constituem o acontecimento devem ser independentes e a ordem dos eventos, dentro do acontecimento, não influencia o cálculo da probabilidade. Em muitas outra situações é necessário a reposição dos dados, para que se possa usar a distribuição binomial ou multinomial.

Conceito

Entende-se por distribuição binomial como sendo aquela em que os termos da expansão do binômio (ou multinômio) correspondem às probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral. O binômio (ou multinômio) é formado pelas probabilidades de cada acontecimento elevado ao número total de ocorrências.

Ilustração

Para exemplificar será considerado o exemplo dos bovinos, considerando três nascimentos. A probabilidade de sair um animal sem chifre é igual a S (S = ¾) e a probabilidade de sair com chifre igual a C (C = ¼). Assim, tem-se as seguintes situações;

Acontecimentos	1o. Animal	2o. Animal	3o. Animal	Probabilidade
3 Com chifres	Com	Com	Com	C³
	Com	Com	Sem
2 Com e 1 Sem chifres	Com	Sem	Com	3C²S
	Sem	Com	Com
	Com	Sem	Sem
1 Com e 2 Sem chifres	Sem	Com	Sem	3CS²
	Sem	Sem	Com
3 Sem chifres	Sem	Sem	Sem	S³

A seqüência C³ + 3C²S + 3CS² + S³ tem dois significados:

a) Cada elemento corresponde a uma probabilidade de um evento do espaço amostral. Sendo probabilidade, se verifica:

C³ + 3C²S + 3CS² + S³ = 1

b) Corresponde a expansão do binômio:

(C + S)³ = C³ + 3C²S + 3CS² + S³ = 1


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DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL


A obtenção da probabilidade através da expansão do binômio apresenta inconvenientes quando o valor de n (número total de ocorrências) é relativamente grande.

A expansão do binômio resultará em n + 1 termos e, consequentemente, é impraticável obte-los para n relativamente grande e, para se obter a probabilidade de um evento é necessário conhecer a probabilidade de todos os outros que constituem o espaço amostral. Outro aspecto de dificuldade ocorre quando se tem vários eventos, estabelecendo-se, portanto, um multinômio.

Para contornar os problemas, pode-se estimar as probabilidades utilizando-se o termo geral da distribuição multinomial. Este procedimento é mais adequado pois permite estimar a probabilidade do evento desejado sem ser necessário conhecer qualquer outro termo do multinômio.

O termo geral é expresso por:



em que,

ni = número de ocorrências do evento i

N = = número total de ocorrências

pi = probabilidade de ocorrência do evento i


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