|
·
Produção: Laboratório de Bioinformática
·
Aplicativo suporte: Programa GBOL – Genética Básica on
line
·
Comunidade (facebook): GbolNews
|
Tópicos
Probabilidade
Propriedades
Leis de Probabilidade
Distribuição Binomial
Distribuição Multinomial
PROBABILIDADE
Dado um acontecimento A, sendo nA o número de casos
favoráveis relativos à sua realização e ñA o número
de casos contrários, a probabilidade de A pode ser definida como:
p(A) = nA/(nA + ñA)
De outra forma, a probabilidade é a razão entre o número de maneiras igualmente
provável de um evento ocorrer e o número igualmente provável de todos os
acontecimentos ocorrerem.
Volta
PROPRIEDADES
O cálculo da probabilidade de um evento A deve satisfazer as seguintes
propriedades:
a) 0 £ P(A) £ 1
b) P(S)
= 1, sendo S o conjunto de todos os resultados possíveis ou
universo.
c) P( ) = 0
Como ilustração, é considerada a cor dos olhos na espécie humana, em que a
condição A- determina olhos castanhos e aa, olhos azuis.
Do casamento entre genitores heterozigotos (Aa x Aa), formam-se:
Fenótipo |
Descrição |
Probabilidade |
Meninos de olhos castanhos |
XY A- |
P(XY) P(A-) = ½ x ¾ = 3/8 |
Meninos de olhos azuis |
XY aa |
P(XY) P(aa) = ½ x ¼ = 1/8 |
Meninas de olhos castanhos |
XX A- |
P(XX) P(A-) = ½ x ¾ = 3/8 |
Meninas de olhos azuis |
XX aa |
P(XX) P(aa) = ½ x ¼ = 1/8 |
Volta
LEIS DE PROBABILIDADE
Lei da soma para eventos
mutuamente exclusivos
Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja ocorrência de um elimina a
possibilidade de ocorrência do outro. Nesse caso, a probabilidade de ocorrência
de um ou outro evento é expressa por:
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um
menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis. Assim, tem-se:
P(A) = P(menino de olhos castanhos) = 3/8
P(B) = P(meninas de olhos azuis) = 1/8
P(A ou B) = P(A) + P(B)= 3/8 + 1/8 = 1/4
Lei da soma para eventos
não mutuamente exclusivos
Nesse caso, pode-se definir a seguinte expressão de probabilidade
:
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)
Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um
menino ou uma criança de olhos azuis. Assim, tem-se:
P(A) = P(menino) = 1/2
P(B) =
P(olhos azuis) = 1/4
P(A e B)
= P(meninos de olhos azuis) = 1/8
P(A ou
B) = P(A) + P(B ) - P(A e B) = 1/2 + 1/4 - 1/8
A necessidade de subtrair a probabilidade de meninos de olhos azuis na P(A ou
B) pode ser constatada, pois tanto o valor P(menino) quanto P(olhos azuis)
inclui a possibilidade de sair menino de olhos azuis. Conseqüentemente,
essa probabilidade estaria sendo somada duas vezes,
caso não houvesse aquela subtração.
Lei do produto para
eventos independentes
Dois
eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer B não é condicional
à ocorrência de A. A expressão que define a lei do produto para eventos
independentes é a seguinte:
P(A
e B) = P(A) . P(B)
Exemplo: Em uma família será estimada a probabilidade de nascer menino e ter olhos
azuis.
P(menino e olhos azuis) = P(menino) . P(olhos azuis) =(1/2)(1/4) = 1/8
Lei do produto para
eventos dependentes (ou condicionais ou ligados)
Nesse caso, tem-se a seguinte expressão de probabilidade:
P(A e B) = P(A) . P(B/A) = P(B) .
(P(A/B)
Será considerado agora o gene que deteramina o
daltonismo na espécie humana. Trata-se de um gene ligado ao sexo, em que:
Mulheres
normais: XD XD ou XD
Xd
Mulheres
daltônicas: Xd Xd
Homens
normais: XDY
Homens
daltônicos: XdY
Considerando o casamento entre uma mulher normal, portadora, e um homem normal,
têm-se as descendências:
Gametas |
XD |
Y |
XD
|
XD
XD |
XD
Y |
Xd |
XD
Xd |
Xd Y |
Conclui-se que:
P(menino)
= P(menina) = ½
P(Normal)
= ¾
P(Daltonismo)
= ¼
Exemplo:
No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer uma menina
daltônica. Verifica-se, nesse caso, que:
P(menina daltônica) ¹ P(menina) x P(daltônica)
Ao
contrário, tem-se:
P(menina daltônica) = P(menina) x P(daltonica/menina) = ½ x 0 = 0
Volta
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Utilização
A distribuição poderá ser empregada na determinação da probabilidade quando, no
evento especificado, se deseja calcular a probabilidade de um acontecimento
composto estabelecido por vários eventos. Nesse caso, os eventos que constituem
o acontecimento devem ser independentes e a ordem dos eventos, dentro do
acontecimento, não influencia o cálculo da probabilidade. Em muitas outras
situações, é necessária a reposição dos dados, para que se possa usar a
distribuição binomial ou multinomial.
Conceito
Entende-se por distribuição binomial aquela em que os termos da expansão do
binômio (ou multinômio) correspondem às
probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral. O binômio (ou multinômio) é formado pelas probabilidades de cada
acontecimento elevadas ao número total de ocorrências.
Ilustração
Para exemplificar, será utilizado o exemplo dos
bovinos, considerando três nascimentos. A probabilidade de sair um animal sem
chifre é igual a S (S = ¾) e a probabilidade de sair com chifre igual a C (C =
¼). Assim, têm-se as seguintes situações:
Acontecimentos |
1o. Animal |
2o. Animal |
3o. Animal |
Probabilidade |
3 Com chifres |
Com |
Com |
Com |
C³ |
Com |
Com |
Sem |
||
2 Com e 1 Sem chifres |
Com |
Sem |
Com |
3C²S |
Sem |
Com |
Com |
||
Com |
Sem |
Sem |
||
1 Com e 2 Sem chifres |
Sem |
Com |
Sem |
3CS² |
Sem |
Sem |
Com |
||
3 Sem chifres |
Sem |
Sem |
Sem |
S³ |
A seqüência C³ + 3C²S + 3CS² + S³ tem dois
significados:
a) Cada elemento
corresponde a uma probabilidade de um evento do espaço amostral. Sendo
probabilidade, verifica-se:
b)
Corresponde à expansão do binômio:
(C +
S)³ = C³ + 3C²S + 3CS² + S³ = 1
Volta
DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL
A obtenção da probabilidade através da expansão do binômio apresenta inconvenientes quando o valor de n (número total de
ocorrências) é relativamente grande.
A expansão do binômio resultará em n + 1 termos e, conseqüentemente, é impraticável obtê-los para n
relativamente grande. Adicionalmente, para se obter a
probabilidade de um evento, é necessário conhecer a probabilidade de todos os
outros que constituem o espaço amostral. Outro aspecto de dificuldade ocorre
quando se têm vários eventos, estabelecendo-se, portanto, um multinômio.
Para contornar os problemas, podem-se estimar as probabilidades, utilizando-se
o termo geral da distribuição multinomial. Esse
procedimento é mais adequado, pois permite estimar a probabilidade do evento
desejado sem ser necessário conhecer qualquer outro termo do multinômio.
O termo geral é expresso por:
P(E) =[ N!/(n1! n2! ... nn!)] p1n1 p2 n2 ...pn nn
em que
ni = número de ocorrências do evento i
N =
número total de ocorrências
pi =
probabilidade de ocorrência do evento i
Exemplo 1. Probabilidade de
surgirem 4 meninos e 2 meninas
Exemplo 2: